Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点的个数；（2）是否存在a，b

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点的个数；（2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：①f（-1+x）=f（-1-x）且f（x）≥0；②对0≤f（x）-x≤12（x-1）2．若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+c=0，
即b=a+c，
故△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²
当a=c时，△=0，函数纯激f（x）有一个零点；
当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点．
（2）假设存在a，b，c满足题设，由条件①知抛物线的对称轴为x=-1，
且f（x）min=0；
∴

? b 2a ＝?1 △做裤袜＝b2?4ac＝0

，
即

b＝2a b2＝4ac

，解得纯胡a=c．
在条件②中令x=1，有0≤f（1）-1≤0，
∴f（1）=1，
即a+b+c=1，
由

a+b+c＝1 b＝2a a＝c

，
解得a=c=

1

4

，b=

1

2

成立．
∴存在a=c=

1

4

，b=

1

2

，使f（x）同时满足条件①②．