Question

向量数学题

已知A,B是两个相互垂直的单位向量，且c*a=1,c*b=1,|c|=根号2，则对任意的正实数t,|c+ta+(1/t)b|的最小值？

Answer 1

这道题目我们应该先平方再开根号，平方后=C*C+A*A*T*T+(B*B)/(T*T)+2*A*C*T+2*C/T+2*A*C=1+T*T+1/(T*T)+2*T+2/T+0,，然后就可以用基本不等式了最小值应该是2倍根号2也就是根号8，希望你能看懂.......

Answer 2

由于向量a、b正交，故向量c可以进行正交分解，设c=k1*a+k2*b，因为a、b为单位向量，所以 k1=c·a=1，k2=c·b=1，即c=a+b。

c+ta+(1/t)b=a+b+ta+(1/t)b=(1+t)a+(1+1/t)b，
所以|c+ta+(1/t)b|^2=(1+t)^2+(1+1/t)^2 （a·b=0）
=2+t^2+1/t^2+2(t+1/t)
≥2+2*√[t^2*1/t^2]+4*√[t*1/t]
=2+2+4
=8，
等号当且仅当t=1/t且tt^2=1/t^2时，即t=±1时成立，此时|c+ta+(1/t)b|最小值为√8=2√2。