Question

设P为椭圆x²/16+y²/9=1上的点，F1，F2为其左右焦点，且△PF1F2的面积为6，则向量PF2*向量PF1=

求详解，要步骤。谢谢

Answer 1

方法一，利用焦点三角形面积公式

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方法二
设P到x轴距离为h
a²=16,b²=9
∴c²=7
c=√7
F1F2=2c=2√7
∴S△PF1F2=1/2*2√7*h=6
∴h=6√7/7
∴P纵坐标为±6√7/7
代入椭圆x²/16+y²/9=1
x=±4√21/7
不妨取P在第一象限点(4√21/7,6√7/7)
F1(-4,0),F2(4,0)
向量PF1=(-4-4√21/7,-6√7/7)
向量PF2=(4-4√21/7,-6√7/7)
向量PF2*向量PF1
=-(16-16*3/7)+36/7
=-16+48/7+36/7
=-16+12
=-4

Answer 2

焦点三角形面积公式S△PF1F2=b^2.tan(θ/2),θ=∠F1PF2.
6=9.tan(θ/2)
tan(θ/2)=2/3.tanθ=12/5，cosθ=5/13.
设|PF1|=r,|PF2|=s,
余弦定理4c^2=r^2+s^2-2rscosθ
4c^2=(r+s)^2-2rs-2rscosθ
4c^2=4a^2-2rs-2rscosθ
rs=13,
二向量之积=rs.cosθ=5.

Answer 3

根据题意，F1（-根号7，0），F2（根号7，0）
S△PF1F2＝（1/2）*｜F1F2｜*｜yP|＝6
｜F1F2｜＝2倍根号7
｜yP｜＝6/7倍根号7
a^2=16,b^2=9,c^2=a^2-b^2=16-9=7,c=根号7
F1（-c，0），F2（c，0）
｜xP｜＝4/7倍根号21
向量PF1＝（[-根号7-正负4/7倍根号21]，[-正负6/7倍根号7]）
向量PF2＝（[根号7-正负4/7倍根号21]，[-正负6/7倍根号7]）
向量PF2*向量PF1＝（[48/7-7]，[36/7]）＝（-1/7，36/7）