Question

几何难题，求解答过程！

Answer 1

断断续续想了20天，得到如下一种解法。先证明一个引理：

研究全图左半部分

这个图形的特征是BM平分∠ABC，∠PBQ=1/2∠ABC，易得∠ABP=∠MBQ，∠PBM=∠QBC。分别过A、M作BP的垂线，垂足分别为D、E；分别过M、C作BQ的垂线，垂足分别为F、G

由AD⊥BP、ME⊥BP，得AD//ME，有AP/PM=AD/ME；同理MQ/CQ=MF/CG

由∠ABP=∠MBQ，∠PBM=∠QBC，易得△ABD∽△MBF,AD/MF=AB/BM;△MBE∽△CBG,ME/CG=BM/BC

所以AP/PM/(MQ/CQ)=AD/ME/(MF/CG)=AB*BC/BM^2

这个结论对解本题相当有用！该结论是否可逆？一定！！将全图的右半部分拿出来验证：DM平分∠ADC，如果AP/PM/(MQ/CQ)=AD*DC/DM^2，则∠PDQ=1/2∠ADC

作∠P‘DQ=1/2∠ADC，射线P’交AM于P‘。依前述证法有AD*DC/DM^2=AP’/P‘M/(MQ/CQ)=AP/PM/(MQ/CQ)，得AP’/P‘M=AP/PM，AM/P‘M=AM/PM，P’M=PM，即P‘与P是同一点，故∠PDQ=1/2∠ADC

证明了这个引理，后面只需证明AD*DC/DM^2=AB*BC/BM^2       ①，此题就彻底解决了！

过A作BM的垂线，垂足为E；过C作BM的垂线，垂足为G；连接M与切点F，M与切点H。由于AE⊥BE、MF⊥BF，∠ABE=∠MBF，得△ABE∽△MBF,AB/BM=AE/MF；同理BC/BM=CG/MH       ②

过A作DM的垂线，垂足为I；过C作DM的垂线，垂足为K；连接M与切点J，M与切点L。由于AI⊥DI、MJ⊥DJ，∠ADI=∠MDJ，得△ADI∽△MDJ,AD/DM=AI/MJ；同理CD/DM=CK/ML        ③

将②、③代入①，而且MF=MH=MJ=ML，得AE*CG=AI*CK，只需证明这个即可。

由于∠ABM=∠CBM、∠BAM=∠DAM、∠ADM=∠CDM、∠ACM=∠DCM,得∠ADM=180°-∠ABM-∠BAM-∠BCM，∠CMD=180°-∠MCD-∠MDC=∠ABM+∠BAM=∠AME         ④

所以△AME∽△CMK,AE/CK=AM/MC

进而∠AMI=∠CMG，得△AMI∽△CMG，AI/CG=AM/MC

所以AE/CK=AI/CG，即AE*CG=AI*CK。本题得证。

另外，欲证①，使用三角函数最为简单：AB/BM=sin∠AMB/sin∠BAM，BC/BM=sin∠BMC/sin∠BCM；AD/DM=sin∠AMD/sin∠DAM，CD/DM=sin∠DMC/sin∠DCM

由∠BAM=∠DAM，∠BCM=∠DCM；再由前述④∠CMD=∠AME，得∠CMD+∠AMB=180°，∠AMD+∠CMB=180°，得sin∠AMB=sin∠DMC，sin∠BMC=sin∠AMD，立即可得①。三角函数法是我最初想到的方法，但是我觉得还是追求一下纯几何解法较为令人满意，因此多费了些时间找出了上述纯几何解法。

Answer 2

只能用讨论法证明此题：
　如果点Q左移至与点C重合
　又因为∠PBQ＝1/2∠ABC
　　　1/2∠ABC＝∠MBC
所以 ∠PBQ=∠MBC
所以点P一定与点M重合
　所以∠PDQ=∠MDC
因为∠MDC=1/2∠ADC
所以∠PDQ=1/2∠ADC
即：∠ADC＝2∠PDQ
如解得不对，楼下请勿拍砖！

Answer 3

链接MD，BM链接切点圆心 。证明∠PBA=∠MBQ同理，∠PDM= ∠QDC所以。。

Answer 4

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