Question

已知函数f（x）=log a 1-mx/x-1是奇函数（a大于0，且a≠1）。

（1）求m的值；
（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明；
（3）当a＞1，x∈（1，√3）时，f（x）的值域是（1，+∞），求a的值；

Answer 1

(1)
f(-x)=-f(x)
故log a (1+mx)/(-1-x)=log a (x-1)/(1-mx)
所以 (1+mx)/(-1-x)=(x-1)/(1-mx)
解得m＝-1

(2)x>1
f(x)=log a (1+x)-log a (x-1)
f'(x)=(((x＋1）lna)^-1)-(((x-1)lna)^-1)
f'(x)=-2/(lna(x^2-1))
若0<a<1则f'(x)>0，单调增
若a>1则f'(x)<0，单调减

(3)
a>1,增函数
f(3^0.5)=1
log a (2+3^0.5)=1
a=2+3^0.5