Question

高中数学数列问题

关于等差数列的性质，练习册上写着“若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2。若n为奇数，则S奇-S偶=a中（中间项）。”原文就是这么写的，我没看明白，跪求真相。

还有一个关于分期付款模型的问题：设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为x，分n期还完，则x=a[r(1+r)^n]/[(1+r)^n-1]，为什么呢？我没看明白，希望高人耐心讲解。（下边有图，两个模型是等效的）
图片怎么上传不上来？艹，直接点这个地址看图
http://www.ywzh.cn/pri_res/uplFile/home/suyu/2010-07-23%202159_0.jpg

Answer 1

n为偶数时，设n=2k。
S偶-S奇=a2k+a(2k-2)+…+a2-(a(2k-1)+a(2k-3)+…+a1)
=（a2k-a(2k-1)）+（a(2k-2)-a(2k-3)）+…+(a2-a1)
=kd
=nd/2

n为奇数时，设n=2k+1
S奇-S偶=（a1+a3+a5+…+a2k+1）-(a2+a4+…+a2k)
=(k+1)ak+1-kak+1
=ak+1

分期付款问题
模型一：
左边a0（1+r）^n表示 借a0的钱，n年后一起还，要还本息和共计a0（1+r）^n
右边表示
第一年还x的钱不用利息
第二年要还x（1+r）了，因为拖了一年要算利息
第k年就是x（1+r）^k
解出x 1+（1+r）+（1+r）^2+……+(1+r)^n-1=【[(1+r)^n]-1】/r
x=a0r（1+r）^n/[(1+r)^n]-1

模型二：
左边是第一年的年初贷款额。
右面第一项是第一年年末的还款x折算成年初，所变成的金额。
依次第二项为第二年年末的还款x折算成第一年年初所变成的金额。
……………………………
一直到第n年年末的还款x折算成第一年年初所变成的金额。

拿第一年末说就是还款x相当于第一年年初的存入x/（1+r）
后面依次类推

Answer 2

若有数列{an},
n为偶数时，S偶-S奇=（an-an-1）+（an-2-an-3）+……+(a4-a3)+(a2-a1)
=d+d+d+……+d（共n/2个）
=nd/2
n为奇数时，设n=2k+1
S奇-S偶=（a1+a3+a5+……+a2k+1）-(a2+a4+……+a2k)
=(k+1)ak+1-kak+1
=ak+1
ak+1就是那个中间项

关于还款的问题，是这样的
以模型一为例：
左边a0（1+r）^n表示 借a0的钱，n年后一起还，要还本息和共计a0（1+r）^n
右边表示
第一年还x的钱不用利息
第二年要还x（1+r）了，因为拖了一年要算利息
第k年就是x（1+r）^k
按这种算法就是右边那样子
解出x，这个不用教吧，等比数列求和
1+（1+r）+（1+r）^2+……+(1+r)^n-1=【[(1+r)^n]-1】/r
那么x=a0r（1+r）^n/ [(1+r)^n]-1

Answer 3

n=2k
S偶-S奇
=a2k+a(2k-2)+……a4+a2-(a(2k-1)+……a3+a1)
=（a2k-a(2k-1)）+（a(2k-2)-a(2k-3)）+……+(a4-a3)+(a2-a1)
=kd=nd/2
n=2k+1
S奇-S偶
=（a1+a3+a5+……+a(2k+1)）-(a2+a4+……+a2k)
=a1+kd
=a(k+1)
即a中

等额分期付款中
模型一
a0(1+r)^n表示第n年后一共应该还的总额
由于每年的还款x也有利息，所以等号右面的依次表示第一年后的还款到第n年后变成的金额，第二项表示第二年后还款到第n年后变成的金额，……，一直到第n年的还款x（共n项）
然后解得x的值
累计还款金额就是n倍的x
模型二
左边是第一年的年初贷款额
右面第一项表示，第一年年末的还款x折算成年初，所变成的金额，依次第二项为第二年年末的还款x折算成第一年年初（两年），所变成的金额……一直到第n年年末的还款x折算成第一年年初（n年），所变成的金额
这是一个逆过程·
理解的话
拿第一年末说就是，我的还款x，相当于第一年年初的存入x/（1+r）
后面依次做相同解释
然后解出x
再解出sn

Answer 4

1.n表示数的个数、S为求和，d为公差。那个定理的意思就是：若等差数列有偶数个数，则奇数位的数之和比偶数位的数之和少nd/2。若等差数列有奇数个数，则奇数位的数之和和偶数位的数之和的差是中间数。

Answer 5

1、s1=S偶=a2+a4+a6+……+a2n
s2=S奇=a1+a3+a5+……+a(2n-1)
s1-s2=d*项数=nd，因为此时的“n”相当于2n
s2-s1此时项数比偶数项多一项
s2-s1=a1+nd=a(n+1)中间项
2、此模型利息为每年还款利率，楼上说的很清楚。
另外还有一种题型：利率按照未还款额来算，
第一年要还：a1=a，还款x
第二年要还：a2=（a-x）（1+r）从第二年（拖欠1年）开始计算贷款利率
第三年要还：a3=(a2-x)(1+r)
第n年要还：an=[a(n-1)-x](1+r)
利用构造新数列求出an，且利用a（n+1）=0可求出x