Question

高一数学：函数

跪求此题答案的含义，解释清晰合理加分！
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y属R）（属于符号不会打
= =），f(1)=2,则f(-3)等于( )
A.2 B.3 C.6 .D.9
C．解析：f(-3)＝f(－1）＋f（－2）＋4．（为什么）
因为f(1)=2,f(-1+1)＝f（－1）＋f（1）－2
即f（0）+f(-1).令x＝y＝0，可得f(0)＝0.
于是f(-1)=0,f(-2)=2f(-1)+2=2(最纠结的一步)
所以f(-3)=0+2+4=6.
打完了,好累啊~~嗷
高手们快快给出答案哦,要细!

Answer 1

其实好好想想，你应该会的。因为f(-3)=f[(-1)+(-2)]=(－1）＋f（－2）＋+2*(-1)*(-2)，且f(0)=f[(-1)+1]=f（－1）＋f（1）－2=f(-1)+2-2=f(-1),又f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)+2*0*0,故f(-1)=f(0)=0,于是f(-2)=f[(-1)+(-1)]=f(-1)+f(-1)+2*(-1)*(-1)=2f(-1)+2=2,所以f(-3)=0+2+4=6.
好好领悟一下，今后做这类函数方程题就不难了。
（写完我才发现自己打字好慢，刚开始时没有答案，一提交就已经有3条了，呜。

Answer 2

他是令x=-1，y=-2，得到f(-3)＝f(－1）＋f（－2）＋4
再令x=-1，y=1得到f(-1+1)＝f（－1）＋f（1）－2=f（0）=0

Answer 3

f(-3)＝f(－1）＋f（－2）＋4 ......... -3=（-1）+（-2），x=-1,y=-2
f(-1+1)＝f（－1）＋f（1）－2 ......... x=-1,y=-1
--> f(0)=f(-1)+2-2 -> f(0)=f(-1)
f(-2)=f(-1)+f(-1)+2 .............. -2=(-1)+(-1)

Answer 4

f(-3)＝f(－1）＋f（－2）＋4 因为f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy
因为f(1)=2,f(0)=f(-1+1)＝f（－1）＋f（1）－2=f(-1)+2-2=f(-1)
即f（0）=f(-1).令x＝y＝0，可得f(0)＝0.
于是f(-1)=0,f(-2)=2f(-1)+2=2
所以f(-3)=0+2+4=6.

Answer 5

因为已经知道了f(1）的值，且f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)-2,所以只要算出f(0)的值，就可以得到f(-1)的值，之后就可以得到f(-2)=f(-1+ -1)=2f(-1),f(-3)=f(-1)+f(-2)=3f(-1)

Answer 6

一般答案给的解析采用的是先综合后分析法，不易理解，我们用先分析后综合法，道理一样，正反而已
令x=y=0,f(0)=0
令x=1 y=-1 可得f(0)=f(1)+f(-1)-2 因f(1)=2 所以f(-1)=0
令x=-1 y=-1 可得f(-2)=f(-1)+f(-1)+2=2
f(-3)=f(-1)+f(-2)+4=0+2+4=6 (此时x=-1 y=-2)