Question

高中数学不等式题目

已知x,y∈R，a,b＞0,且a+b=1.求证（ax+by)(ay+bx)≥xy

Answer 1

x+y>=2根号xy
因为（a+b）=1
所以两边同时乘以（a+b）即(x+y)(a+b)=(x+y)>=2根号xy
（x+y)(a+b)>=2根号xy【注 乘以1跟没乘一样】
整理得（ax+by+ay+bx)>=2根号xy
根据不等式定理得
(ax+by+ay+bx)>=2根号下（ax+by)(ay+bx)>=2根号下xy
把根号都脱了 就是（ax+by)(ay+bx)≥xy

Answer 2

证明:
(ax+by)(ay+bx)-xy
=xya^2+abx^2+aby^2+xyb^2-xy
=xy(a^2+2ab+b^2)-2abxy+abx^2+aby^2-xy
=xy(a+b)^2+ab(x^2-2xy+y^2)-xy 因为a+b=1
=xy+ab(x-y)^2-xy
=ab(x-y)^2 又因为:abxy都是正实数
则ab(x-y)^2>=0
即(ax+by)(ay+bx)-xy>=0
也就是(ax+by)(ay+bx)>=xy

Answer 3

这道题目你可以用综合法，说来惭愧我也是刚刚翻了下数学4-5不等式选修-.-

解：
原式右边化解可得a²XY+abX²+abY²+b²XY
整理可得XY(a²+b²）+ab（X²+Y²）
又因为XY(a²+b²）>=2abXY ............(1)
ab（X²+Y²）>=2abXY ...........(2)
由(1）+(2)可得XY(a²+b²）+ab（X²+Y²））>=4abXY
又因为a,b＞0,且a+b=1.
a+b>=2根号ab
所以ab<=1/4
所以 XY(a²+b²）+ab（X²+Y²））>=4abXY =XY
所以原式成立