Question

已知f(x)=loga (a^x-1) (a>0,a不等于1），讨论函数单调性并解方程f(2x)=f-1(x)

Answer 1

令x1>x2
f(x1)-f(x2)=loga(a^x1-1)-loga(a^x2-1)
=loga[(a^x1-1)/(a^x2-1)]
1、当a>1时，则x1>x2>0时有意义
因为a^x1>a^x2,(同底大于1的指数函数，是单调递增的）
所以a^x1-1>a^x2-1>0,所以（a^x1-1)/(a^x2-1）>1
则loga[(a^x1-1)/(a^x2-1)]>0,即f(x1)-f(x2）>0,f(x1)>f(x2)
所以单调递增的
2、0<a<1时，0>x1>x2有意义
则a^x1<a^x2（同底大于0小于1的指数函数是单调递减的）
0<（a^x1-1)<(a^x2-1）即0<（a^x1-1)/(a^x2-1）<1
即loga[(a^x1-1)/(a^x2-1)]>0(对数函数，底数小于1是单调递减速的。）
所以
f(x1)-f(x2）>0,f(x1)>f(x2)

所以在x定义域有意义的范围内此函数都是单调递 增的。

2、f(x)=loga (a^x-1)
a^f(x)=a^x-1
a^f(x)+1=a^x
x=loga(a^f(x)+1),即f-1（x）=loga（a^x+1)

f(2x)=f-1(x)
loga (a^2x-1)=loga（a^x+1)
a^2x-1=a^x+1
（a^x-2)(a^x+1)=0
a^x=2,得x=loga（2）（a^x+1>0)