Question

在三角形ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若(根号3b-c)cosA=acosC,则cosA=

在三角形ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若(根号3b-c)cosA=acosC,则cosA=？

若AB=2，AC=bc*根号2，则三角形ABC的最大面积为

三角形ABC中，∠A=45°，AD⊥BC且AD=3，CD=2，求三角形的面积S

Answer 1

(√3b-c)cosA=acosC
(√3sinB-sinC)cosA=sinAcosC
√3sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA
√3sinBcosA=sin(A+C)
√3sinBcosA=sinB
cosA=√3/3

设BC=a，则AC=√2a。由余弦定理：
cosC=(3a²-4)/2√2a²，
∴sinC=√(-a^4+24a²-16)/2√2a²
∴三角形面积=√(-a^4+24a²-16)/4
=√[128-(a²-12)²]/4
≤√128/4=8√2/4=2√2
∴最大面积2√2.

设未知数高为x,利用面积和角的关系列出方程，可解出BC边上的高为6，故面积为15
过程如下：作BE垂直于AC 设AD=x 易知三角形ABE为等腰直角三角形
利用关系 AB^2=2BE^2 其中AB^2=x^2+4
BE^2=(AD*BC/AC) 即 x^2+4=2[5x/根号(x^2+9)]^2 解得x=6或1（舍）
故 面积=5*6/2=15

Answer 2

cosA＝(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，cosC＝(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
(√3b-c﹚×(b^2+c^2-a^2)/(2bc)＝a×(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
整理得√3(b^2+c^2-a^2)＝2bc
所以，cosA＝(b^2+c^2-a^2)/(2bc)＝1/√3