Question

f(x)在(-∞，+∞)上单调有界，xn单调 则f(xn)收敛

f(x)在(-∞，+∞)上单调有界，xn单调 则f(xn)收敛 不知道xn是否有界 就能判断f(xn)收敛？为什么？

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

xn单调，f(x)也单调，那么f(xn)作为数列也单调。
f(x)有界，那么f(xn)作为数列也有界
所以f(xn)是一个有界单调数列，必然收敛

追问

如何判断的f(xn)是有界的 还是有点不懂 f(xn)不是一个复合函数吗？xn有界和f(x)有界两个条件不才能确定f(xn)有界吗？这样想为什么不对？麻烦再给解答一下 谢谢～

追答

f(x)有界，就说明存在一个M>0，不管你给一个什么样的x，|f(x)|<M。
现在，你有了一个xn，不管你的xn有多大，f的有界保证了|f(xn)|<M，这就是说f(xn)有界
我可能理解一点你的困惑了，你是不是觉得，有可能对于某一个n，xn是无穷，而无穷不在f的定义域里，所以这时候f(xn)就不知道是啥了
但是我们知道一个数列的每一项xn都是一个实数，所以每一个xn都在f的定义域里，所以f(xn)都是可以算出来的，而f的有界性保证了f(xn)<M

追问

好的 懂啦 有点忙刚看到回答 谢谢你😊