Question

直线与椭圆方程的问题

Answer 1

证明：不妨设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(此时易得右焦点f(c,0)),设直线经过椭圆的右焦点f，则此直线的方程可设为x=my+c(此直线不能表示为x轴，而为x轴时三点共线不合题意)
设a(x1,y1),b(x2,y2)(并且假设y2>y1即b在a上方)
联立直线x=my+c与椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1得到
(my+c)^2/a^2+y^2/b^2=1
整理得到b^2(my+c)^2+a^2y^2=a^2b^2
亦即(a^2+b^2m^2)y^2+2b^2cmy+b^2(c^2-a^2)=0[注意到c^2-a^2=-b^2,椭圆的性质]
即上式简化为(a^2+b^2m^2)y^2+2b^2cmy-b^4=0
我们知道a,b就是直线与椭圆的交点，于是易得y1,y2是上式的两个根(这点你应该也知道)
韦达定理有y1+y2=-2b^2c/(a^2+b^2m^2)……………………(1)[令t=a^2+b^2m^2]
y1*y2=-b^4/(a^2+b^2m^2)………………………………(2)
下面来表示∠aob(我们选择倒角公式，这个不知道可去看书本)
kob=y2/x2,koa=y1/x1
tan∠aob=(kob-koa)/1+koa*kob=(y2/x2-y1/x1)/1+y2y1/x1x2
整理得到tan∠aob=(x1y2-x2y1)/(x1x2+y1y2)
下面便是考验你的计算能力的时候到了。
x1y2-x2y1=(my1+c)y2-(my2+c)y1=c(y2-y1)
x1x2+y1y2=(my1+c)(my2+c)+y1y2=m^2y1y2+cm(y1+y2)+c^2+y1y2
=(m^2+1)y1y2+cm(y1+y2)
=(m^2+1)[-b^4/(a^2+b^2m^2)]+cm[-2b^2c/(a^2+b^2m^2)]
=1/t[-m^2b^4-b^4-2b^2c^2m]
而(y2-y1)^2=(y2+y1)^2-4y1y2
=(-2b^2c/t)^2-4(-b^4/t)
=4b^4c^2/t^2+4b^4/t
于是tan∠aob=√
4b^4c^2/t^2+4b^4/t/[1/t[-m^2b^4-b^4-2b^2c^2m]][注意这里要看清楚]
即(tan∠aob)^2=(y2-y1)^2/[(m^2+1)y1y2+cm(y1+y2)]^2
=
(下面的自己接下去按着思路做，把它化为函数，再求最值，容易求出是当oa=ob时取得)