Question

一曲线通过点（2,3）它在两个坐标轴间的任意切线段被切点所平分，求这条曲线的方程

Answer 1

设切线L与曲线切点为P=(x,y)，在x和y轴
上交点分别为A和B，.因为P为AB的中点，
所以A=(2x,0)，B=(0,2y)。.根据导数的几
何意义（切线L的斜率），得到
dy/dx=(2y-0)/(0-2x)=-y/x..分离变量
dy/y=-dx/x，.积分
lny=-lnx+lnC.得通解
y=C/x.
将初始条件x=2,y=3
代入，得C=6，.所求
曲线就是特解y=6/x。

Answer 2

设曲线为y=f(x),设P（x0,y0)为曲线上一点
则切线为：f'(x0)(x-x0)=y-y0
令x=0
y=y0-x0f'(x0)
因P平分线段则y0-x0f'(x0)=2y0
f'(x0)=-y0/x0
则-xf'(x)=f(x)
设f(x)=g(x)/x
则g(x)/x==-x[-g(x)/x²+g'(x)/x]
=>g'(x)=0
则g(x)=c（c为任意实数）
则f(x)=c/x
由于f(x)经过（2，3）点
故f(x)=6/x