Question

在1000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有多少个？有没有什么快速运算的方法？

Answer 1

设满足条件的数为m，0≤m≤10000则：
m=3a+2......(1)
m=7b+3......(2)
m=11c+4.....(3)
(1)*77:
77m=231a+154.....(4)
(2)*33:
33m=231b+99
.....(5)
(3)*21:
21m=231c+84
.....(6)
(4)-(5)-(6)*2:
2m=231(a-b-2c)-113=231k+118，其中：k=a-b-2c-1
∵2m为偶数，∴k为偶数，设k=2n，则：2m=462n+118
---->m=231n+59
∵0≤m≤10000,
∴0≤231n+59≤10000---->0≤231n≤9941---->0≤n≤[9941/231]=43
所以,在10000以内,符合条件的数,有44个
楼主懂了吗？

Answer 2

这是同余方程组，3,7,11三个数互质，所以最终的通解必然是除以3×7×11=231余数为某一定值的数。如果只看前两个，则这个数模（除以）21余17，试验可得。结合模11余4，经过几次计算可以发现，这个数模231余59，因为通解为231k+59,1000以内显然只有5个。