Question

设函数y=f(x)是定义在R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(1/3)=1,且当x>0时，f(x)<0

Answer 1

f(x+y)=f(x)+f(y）
取x=y=0,f(0)=f(0)+f(0)所以，f(0)=0
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
所以f(-x)=-f(x)，所以是奇函数。
设x1
0,f(x2-x1)<0
f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)
1/9即xx+2x-1/9>0
x>（2根号2）/3
或者
x<（-2根号2）/3

Answer 2

1、
f(0
+
0)
=
f(0)
+
f(0)
f(0)
=
2f(0)
f(0)
=
0
2、
f[x
+
(-x)]
=
f(x)
+
f(-x)
f(0)
=
f(x)
+
f(-x)
0
=
f(x)
+
f(-x)
f(-x)
=
-f(x)
根据定义，这个是奇函数
3、
因为f(x)解析式无法求出（是抽象函数），所以先求出f(x)
=
2时的x值
f(1/3
+
1/3)
=
f(1/3)
+
f(1/3)
=
1
+
1
=
2
f(2/3)
=
2
f(x)
+
f(2+x)
<
2
f[x
+
(2
+
x)]
<
f(2/3)
f(2x
+
2)
<
f(2/3)
要解上述不等式，需求出f(x)单调性
因为
当x＞0时，f（x）＞0，f(x)是奇函数，所以
当x
<
0时，f（x）<
0
又假设
a
>
b
>
0，
f(a
+
b)
=
f(a)
+
f(b)
因为
a
+
b
>
a
,
b
>
0,
f(b)
>
0,
所以f(a
+
b)
>
f(a)
所以f(x)在x>0时单调递增
又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在r上单调递增
上述不等式f(2x
+
2)
<
f(2/3)
得
2x
+
2
<
2/3
2x
<
-4/3
x
<
-2/3