已知奇函数f(x)偶函数g(x),满足f(x)+g(x)=a^x,求证f(2x)=2f(x)g(x)
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f(x)+g(x)=a^x①
把x=-x代入上式得f(-x)+g(-x)=a^(-x)
因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数
-f(x)+g(x)=a^(-x)②
①-②得f(x)=1/2[a^x-a^(-x)]g(x)=1/2[a^x+a^(-x)]
f(2x)=1/2[a^2x-a^(-2x)]
2f(x)g(x)=1/2[a^x-a^(-x)]·[a^x+a^(-x)]
=1/2[a^2x-a^(-2x)]
∴f(2x)=2f(x)g(x)证毕
把x=-x代入上式得f(-x)+g(-x)=a^(-x)
因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数
-f(x)+g(x)=a^(-x)②
①-②得f(x)=1/2[a^x-a^(-x)]g(x)=1/2[a^x+a^(-x)]
f(2x)=1/2[a^2x-a^(-2x)]
2f(x)g(x)=1/2[a^x-a^(-x)]·[a^x+a^(-x)]
=1/2[a^2x-a^(-2x)]
∴f(2x)=2f(x)g(x)证毕
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