Question

已知椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1（a＞b＞0）的离心率为

已知椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1（a＞b＞0）的离心率为 3 2 ，双曲线x 2 -y 2 =1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为______．

Answer 1

由题意，双曲线x
2
-y
2
=1的渐近线方程为y=±x
∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，
∴（2，2）在椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）上
∴
4
a
2
+
4
b
2
=1
∵e=
3
2
，∴
a
2
-
b
2
a
2
=
3
4
，∴a
2
=4b
2
∴a
2
=20，b
2
=5
∴椭圆方程为：
x
2
20
+
y
2
5
=1
故答案为：
x
2
20
+
y
2
5
=1．