Question

已知a^2+a+1=0,求a^17+a

已知a^2+a+1=0,求a+a^2+a^3+.+a^2006的值,你从中得到什么启示
主要是启示!

Answer 1

a+a^2+a^3+.+a^2006
=a(1+a+a^2)+a^4(1+a+a^2)+……+(a^2005+a^2006)
=0+0+……+0+(a^2005+a^2006)
=a^2005+a^2006+a^2004-a^2004
=-a^2004
启示就是每三项的值为0,2006除以3就余下2项,就是a^2005,a^2006
所以推到一般情形,n项的话只要看除3余几,然后从最后面拿出几项来就是答案哈
至于a怎么解,a^2+a+1=0两边乘以a-1得到a^3=1,在复数空间a有三个值,其中有一个是1,另外两个是复数（高中才接触）,但a≠1,因为代进去a^2+a+1≠0（原因是前面乘以a-1,默认的是a≠1）

Answer 2

因为a^2+a+1=0
所以a^14(a^2+a+1)=0
a^11(a^2+a+1)=0
…
a^2(a^2+a+1)=0
原式=a^17+a^14(a^2+a+1)+a^11(a^2+a+1)+...+a^2(a^2+a+1)+a=a^15(a^2+a+1)+a^12(a^2+a+1)+...a^3(a^2+a+1)+a^2+a=a^2+a=-1