Question

高一数学。在△ABC中，已知8sin^2[(B+C)/2]-2cos2A=7

在△ABC中，已知8sin^2[(B+C)/2]-2cos2A=7

（1）。求∠A的大小。
（2）。求sinB+sinC的取值范围。

Answer 1

1、
8[1-cos(B+C)]/2-2cos2A=7
4[1-cos(180-A]-2(2cos²A-1)=7
4+4cosA-4cos²A+2=7
4cos²A-4cosA+1=0
cosA=1/2
A=π/3

2、
B+C=2π/3
C=2/3-B
sinB+sinC
=sinB+sin(2π/3-B)
=sinB+sin2π/3cosB-cos2π/3sinB
=3/2*sinB+√3/2*cosB
=√3(sinB√3/2+cosB*1/2)
=√3(sinBcosπ/6+cosBsinπ/6)
=√3sin(B+π/6)
0<B<2π/3
π/6<B+π/6<5π/6
所以1/2<sin(B+π/6)<=1
所以取值范围是(√3/2,√3]

Answer 2

解
8sin^2[(B+C)/2]-2cos2A=7
8sin^2[（180-A）/2]-2cos2A=7
8sin^2[A/2]-2cos2A=7
8(1-cosA/2)-2cos2A=7
化减cosA=1/2
A=60

Answer 3

8[1-cos(B+C)]/2-2cos2A=7
4[1-cos(180-A]-2(2cos²A-1)=7
4+4cosA-4cos²A+2=7
(cosA-1/2)^2=0
cosA=1/2
A=π/3

2,sinB+sinC=2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)(和差化积公式知道不？)
sinB+sinC=sin((B+C)/2+(B-C)/2)+sin((B+C)/2-(B-C)/2);
B+C=120
所以2sin((B+C)/2)=根号3;
且-120<B-C<120，1/2<cos((B-C)/2)<1;
所以 (根号3)/2<sinB+sinC<根号3;