Question

已知x²-|x|y+y²=260+求x²+y²最大值？

Answer 1

注意到 $x^2 - |x|y + y^2 \geq 0$，因此题目要求的是满足条件 $x^2 - |x|y + y^2 = 260$ 的 $(x, y)$ 点中 $x^2+y^2$ 的最大值。
我们考虑将 $x$ 的正负性讨论，当 $x\geq 0$ 时，有 $x^2-xy+y^2=260$；当 $x<0$ 时，有 $x^2+xy+y^2=260$。分别将这两个式子整理为二次型的标准形式：
$$
x^2-xy+y^2=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}, \quad x^2+xy+y^2=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}.
$$
对于每一个二次型，它表示平面上以原点为中心的一个椭圆或者一个点，其离心率为 $\sqrt{1-\frac{\mathrm{det}A}{(\mathrm{tr}A)^2}}$，其中 $A$ 是该二次型的系数矩阵。易得这两个二次型的离心率相等，为 $\sqrt{1-\frac{260}{(\frac{3}{4})^2}}=\frac{2\sqrt{730}}{9}$。因此，它们的长轴长度均为 $\frac{2\sqrt{730}}{9}\sqrt{x^2+y^2}$。
由于两个二次型的长轴方向相差 $90^\circ$，因此它们的合并就是一个以原点为中心，长轴与短轴长度比为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的椭圆。显然，当 $x^2+y^2$ 最大时，该椭圆的半径最大，即长轴的长度为 $\frac{2\sqrt{730}}{9}\sqrt{x^2+y^2}$ 最大，此时
$$
x^2+y^2=\left(\sqrt{260\left(1+\frac{1}{(\frac{2\sqrt{730}}{9})^2}\right)}\right)^2=\boxed{730}.
$$

Answer 2

这是一个基本不等式的应用。

详情如图所示:

供参考，请笑纳。