Question

椭圆和直线的问题

已知椭圆X^2/4 +Y^2/3=1 直线l:y=4x+m 当椭圆上有2个不同点关于l对称 试求m的值

Answer 1

椭圆上关于直线y=4x+m的两个对称点为A(x1,y1)和B(x2,y2),
设AB方程为x+4y+b=0与凳差椭圆方程联立得：52y²+24by+3b²-12=0
由韦达定理可知：y1+y2=-24b/52=-6b/13,y1y2=(3b²-12)/52
设AB中点为M，则M点纵模稿坐标(y1+y2)/2=-3b/13,
横坐标旦粗孝(x1+x2)/2=(-4y1-b-4y2-b)/2=-2(y1+y2)-b=12b/13 -b=-b/13
点M在直线y=4x+m上，所以(y1+y2)/2=4(x1+x2)/2 +m
m=-3b/13 +2b/13=-b/13
同时，要使一元二次方程52y²+24by+3b²-12=0有两相异实根
需要判别式大于零，△=(24b)²-4*52(3b²-12)>0,解得-2√13<b<2√13
所以m=-b/13∈(-2√13/13,2√13/13)