Question

多边形内角和问题求助

甲,已,丙是分别由两个具有公共顶点A的正三角形,正四边形和正五边形组成的图形,且其中一个正多边形的顶点B'在另一个正多边形的边BC上.⑴正三角形中,∠B'CC'=?⑵正四边形中,∠B'CC'=?⑶正五边形中,∠B'CC'=?⑷当满足条件的图形为正N边形时,猜想∠B'CC'=? 要详细过程
理由都不够充分，证明过程不够严谨
期待更好的答案！！

Answer 1

很早就做过的问题

解：

⑴正三角形中,∠B'CC'=120°

⑵正四边形中,∠B'CC'=135°

⑶正五边形中,∠B'CC'=144°

⑷当满足条件的图形为正N边形时,猜想∠BCC'=(N－1)*180°/N  

（前三个是最后一个的特殊情形，所以我只给出最后一个的证明）

⑷的证明（几乎写出了所有步骤，实际上有些步骤可以不写的）：

过C'作CD的平行线交BC的延长线于E

因为多边形ABCD...和多边形AB'C'D'...是正N边形

所以∠B＝∠BCD＝∠AB'C'，AB'＝B'C'，AB＝BC

因为EC‖CD

所以∠E＝∠BCD

所以∠B＝∠E

因为∠AB'B＋∠AB'C'＋∠EB'C'＝180°

∠AB'B＋∠B＋∠B'AB＝180°

所以∠B'AB＝∠EB'C'

所以△ABB'≌△B'EC'（AAS）

所以BB'＝EC',AB=B'E

所以BC＝B'E

所以BB'＋B'C＝B'C＋CE

所以BB'＝CE

所以CE＝EC'

所以∠ECC'＝∠EC'C

因为∠ECC'＋∠EC'C＋∠E＝180°

所以2∠ECC'＝180°－∠E

所以∠ECC'＝90°－∠E/2

因为∠BCC'＋∠ECC'＝180°

所以∠BCC'＋90°－∠E/2＝180°

所以∠BCC'＝90°＋∠E/2

又因为∠E是正N边形的一个内角

所以由正N边形的内角和＝(N－2)*180°

得∠E＝(N－2)*180°/N

所以∠BCC'＝90°＋[(N－2)*180°/N]/2

所以∠BCC'=(N－1)*180°/N  

供参考！江苏吴云超祝你学习进步

Answer 2

我给你一个通用解法，3个都能用
把BC延长到BP，使B'P=BC=AB，有∠PB'C'=∠BAB',又有AB'=BC'所以PB'C和BAB'全等，所以∠ABB'=∠B'PC',又有BB'=PC'=BC-B'C=B'P-B'C=PC,所以PCC'是等腰的，所以∠PCC'=(180-∠CPC')/2=(180-∠ABB')/2,所以∠B'CC'=180-(180-∠ABB')/2

Answer 3

解：
∠B'CC'=180°-(180/n)°
以第3个图为例
在AB上截取AP=B'C
易证△APB'≌△B'CC'
于是即可得结论
此题悬赏分过高