Question

求正弦函数的自相关函数怎么求

Answer 1

正弦函数的自相关函数可以通过使用欧拉公式将正弦函数转化为指数函数来求解。具体步骤如下：
1. 将正弦函数表示为指数函数：sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)
2. 将自相关函数的定义式应用于上式，得到：
Rxx(tau) = E[x(t)x(t-tau)]
= E[(e^(ix) - e^(-ix)) / (2i) * (e^(i(x-tau)) - e^(-i(x-tau))) / (2i)]
= 1/4 * E[(e^(2ix) - 2cos(tau)e^(ix) + 1) + (e^(-2ix) - 2cos(tau)e^(-ix) + 1)]
3. 对于期望运算中的第二项，可以利用正弦函数的对称性，将其化为：
E[e^(-ix) * e^(-i(tau-x))] = E[e^(-i(tau-2x))] = E[e^(i(tau-2x))]
4. 将期望运算中的第一项和第三项合并，得到：
Rxx(tau) = 1/2 + 1/2*cos(tau)
因此，正弦函数的自相关函数为 Rxx(tau) = 1/2 + 1/2*cos(tau)。