Question

二阶常系数非齐次线性微分方程怎么求解？

Answer 1

二阶非齐次线性微分方程的通解如下：

y1,y2,y3是二阶微分方程的三个解，则：y2-y1,y3-y1为该方程的两个线性无关解，因此通解为：y=y1+C1(y2-y1)+C2(y3-y1)。

方程通解为：y=1+C1(x-1)+C2(x^2-1)。

二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

常微分方程在高等数学中已有悠久的历史，由于它扎根于各种各样的实际问题中，所以继续保持着前进的动力。

二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。比较常用的求解方法是待定系数法、多项式法、常数变易法和微分算子法等。

Answer 2

举例子
解:微分方程为y"+3y'+2y=2xe⁻ˣ，化为y"+y'+2(y'+y)=2xe⁻ˣ，y"eˣ+y'eˣ+2(y'eˣ+yeˣ)=2x，(y'eˣ)'+2(yeˣ)'=2x，y'eˣ+2yeˣ=x²+a(a为任意常数)，
y'e²ˣ+2ye²ˣ=(x²+a)eˣ，(ye²ˣ)'=(x²+a)eˣ，ye²ˣ=(x²+a)eˣ-2xeˣ+2eˣ+c(c为任意常数)，微分方程的通解为y=(x²-2x+a+2)e⁻ˣ+ce⁻²ˣ