Question

求函数y=x-2cosx在【0,2π】上的极值（加解题过程）

Answer 1

该函数的极值点要满足函数的导数为0，因此我们需要先求出导数。
y' = 1 + 2sinx
令y'=0，得到
1 + 2sinx = 0
sinx = -1/2
由于x∈[0,2π]，所以sinx=-1/2时，x的取值为(π/6,11π/6)和(5π/6,7π/6)。
将这两个值代入y=x-2cosx中分别求出对应的y值：
当x = π/6 时，y = π/6 - 2cos(π/6) = π/6 - √3 ≈ -1.55
当x = 11π/6 时，y = 11π/6 - 2cos(11π/6) = 11π/6 + √3 ≈ 6.98
当x = 5π/6 时，y = 5π/6 - 2cos(5π/6) = 5π/6 + √3 ≈ 3.81
当x = 7π/6 时，y = 7π/6 - 2cos(7π/6) = 7π/6 - √3 ≈ -0.62
因此，在【0,2π】上，该函数的极大值为6.98，极小值为-1.55和-0.62。

Answer 2

要求函数y = x-2cosx在【0 , 2π】上的极值，需要分别求出函数一阶导数和二阶导数，然后分析导数的符号变化。

1. 求一阶导数y' = 1 + 2sinx

2. 求二阶导数y'' = 2cosx

3. 计算函数y的驻点，即一阶导数y' = 0 的点

1 + 2sinx = 0

sinx = -1/2

x = 7π/6 或 11π/6

4. 分析函数y的单调性和极值

当x∈ [0,7π/6) 时，y' > 0，说明函数y单增，此时函数y没有极值。

当x∈(7π/6,11π/6) 时，y' < 0，说明函数y单减，在点x=7π/6处取得极大值，当x=11π/6处