Question

高一不算难的数学题，求解

1.已知1×4＋2×7＋3×10＋...n(3n＋1)=n(n+1)^2，不用数学归纳法，证明对於所有正整数n，
1^2+2^2+3^2+...n^2=n(n+1)(2n+1)/6

2.设y = xln(2-x)。
(a)从基本原理求dy/dx。
(b)若y = xln(2-x)在x=1的切线垂直於直线x+ky+3=0，求k的值。

都是一些暑假作业上的题目，求详细的解答，感谢了！！！！！！！
第二题（a)我需要详细解答……是要用基本原理的方法啊，当中应该涉及极限的运算啊，不可能直接出答案。这题不能用微分法的法则啊（例如锁链法则，乘除法则等等）。

Answer 1

n^2=1/3*n*3n=1/3*n*(3n+1-1)=1/3*n*(3n+1)-1/3*n

然后累加，减号前面的东西累加可以套用已知条件，减号后面的就太容易了。 

第二题看图

Answer 2

1
n(3n+1)=3n²+n
∴1×4＋2×7＋3×10＋...＋n(3n＋1)
=3（1²+2²+...+n²）+（1+2+...+n）
=3（1²+2²+...+n²）+n（n+1）/2=n(n+1)²
∴3（1²+2²+...+n²）=n(n+1)²-n（n+1）/2=n(n+1)(2n+1)/2
1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
2
(a)对y求导
得dy/dx=y´=x´*ln（2-x）+x*ln（2-x）´=ln（2-x）-x/（2-x）
(b)在x=1的切线斜率为ln(2-1)-1/(2-1)=-1
直线x+ky+3=0的斜率为-1/k
∴（-1）*（-1/k）=-1，k=-1
注：y´，x´，ln（2-x）´分别指的是y，x，ln（2-x）的导数

Answer 3

第一题：
设 1^2+2^2+3^2+...n^2=s
对比题目已知的等式和所要证明等式左边项的表达式 n(3n+1)=3n^2+n与n^2
1x4+2x7+3x10+...n(3n+1)=3s+n(n+1)/2=n(n+1)^2
容易就可以得到s=n(n+1)(2n+1)/6.

Answer 4

如图所示：两张