Question

收敛级数为什么收敛？

Answer 1

一个级数的收敛性取决于其部分和序列的性质。收敛级数是指级数的部分和序列趋于一个有限的极限值，而不是无穷大或无穷小。收敛级数之所以收敛，通常是因为它满足了一些收敛的条件。
常见的收敛级数有许多不同的收敛条件，其中最常见的是调和级数和幂级数。调和级数的一般形式是1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...，而幂级数的一般形式是∑(aₙxⁿ)，其中aₙ是系数，x是变量。这些级数在特定条件下是收敛的。
对于调和级数来说，它满足一个重要的条件，即级数的部分和序列随着项数的增加而逐渐趋于一个有限的极限值。这意味着每一项的倒数趋近于零，从而使得级数的部分和序列收敛。
对于幂级数来说，其收敛性取决于收敛半径，即级数在哪些范围内收敛。幂级数的收敛性与其收敛半径有关，收敛半径越大，幂级数的范围内收敛的项就越多。
除了调和级数和幂级数，还有其他类型的级数，它们可能有不同的收敛条件。这些条件可能涉及级数项之间的比较、绝对值判别法、比值判别法等等。具体的收敛条件会因级数的类型而异。
总的来说，收敛级数之所以收敛，是由于其满足了特定的收敛条件，使得级数的部分和序列趋于有限的极限值。

Answer 2

因为当n趋向无穷时，n分之一就趋向0。即它的通项趋向0，级数收敛（n分之一是例外，它为扩散）。

收敛级数的基本性质主要有：

级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变；

两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数；

在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性；

原级数收敛，对此级数的项任意加括号后所得的级数依然收敛；

级数收敛的必要条件为级数通项的极限为0。

扩展内容

收敛级数是柯西于1821年引进的，它是指部分和序列的极限存在的级数。收敛级数分条件收敛级数和绝对收敛级数两大类，条件收敛级数是指收敛但不绝对收敛的级数，级数本身收敛但不绝对收敛。其性质与有限和（有限项相加）相比有本质的差别，例如交换律和结合律对它不一定成立。

收敛级数部分和序列的极限存在的级数，即有和的级数若干a的部分和序列。

当n->无穷时有有限的极限，则该级数称为收敛级数.收敛级数分条件收敛级数和绝对收敛级数两大类.其性质与有限和(有限项相加)相比有本质的差别。

参考资料来源百度百科-收敛级数