Question

高中数列题

1.已知数列a(n)满足a(1)=1,a(2)=2,a(2n+1) =(a(2n)+a(2n-1))/2, a(2n+2)=(a(2n+1)*a(2n))^(1/2),试求数列的通项公式。
2.已知数列a(n)满足a(1)=0,a(2)=1,a(n+1)=n*(a(n)+a(n-1))求该数列的通项公式。

Answer 1

1.

第一题间隔性的求前2项的算术平均数和几何平均数，我感觉不好求出其解析的通项公式…………

2.

a(n+1)-(n+1)*an=-(an-n*a(n-1))

a2-2*a1=1

an-n*a(n-1)=(-1)^n

an-n*a(n-1)=-a(n-1)+(n-1)*a(n-2)

a2-2*a1=1-2*0=1

an-n*a(n-1)=(-1)^(n-2)=(-1)^n

n*a(n-1)-n*(n-1)*a(n-2)=n*(-1)^(n-1)

n*(n-1)*a(n-2)-n*(n-1)*(n-2)*a(n-3)=n*(n-1)*(-1)^(n-2)

……

(n!/2)*a2-n!*a1=(n!/2)*(-1)^2

或者你还可以借助错位排列模型：

编号为1，2，3，4，……，n的小球，和编号分别为1，2，3，4，……，n的盒子，每个盒子里放一个球且要求盒子里的球不能与盒子同号的放法共有多少种？

用集合论的思想解决此题，两个是等价的（当然这比递推法麻烦……）

第一题实在无能为力

Answer 2

1.做了半天没做出来，不好意思，毕业了好几年，忘了咋做了，不过这种类型的题肯定有，查查参考书吧。
2.a(n+1)=n(a(n)+a(n-1))
-a(n)=-(n-1)(a(n-1)+a(n-2))
……
(-1)^(n-2)a(3)=(-1)^(n-2)*2(a(2)+a(1))
累加求和，容易化简得到
a(n+1)=(n+1)a(n)+(-1)^(n+1)
(写出数列前几项可以发现无误,n=1时也满足)
于是依次展开(展开右式中a(n),a(n-1)……a(2)),得到
a(n)=[(-1)^n][1-n+n(n-1)-……+(-1)^(n-2)*n(n-1)(n-2)……3)]
=[(-1)^n][1-A(1,n)+A(2,n)-……+[(-1)^(n-2)]A(n-2,n)
下面能不能再化简，我就不知道了。