Question

已知函数fx=-x³+ax²+bx+c在点P(1,-2)处的切点绕点P逆时针旋转90°后得到：直线

x-3y-7=0(1)若函数fx在x=-2时有极值，求fx表达式（2）若函数fx在区间【-2,0】上单调，求实数b取值范围

Answer 1

1你好
fx=-x³+ax²+bx+c
f(1)=-1+a+b+c=-2
a+b+c=-1
f'(x)=-3x²+2ax+b
f'(1)=-3+2a+b
切线旋转90°（即垂直）
得到y=(1/3)x-7/3
∴f'(1)=-3+2a+b=-3
∴2a+b=0
b=-2a
a-2a+c=-1
c=a-1
(1)
f'(x)=-3x²+2ax-2a
f(x)在x=2处有极值
∴f'(-2)=-3*4-4a-2a=0
a=-2
∴f(x)=-x³-2x²+4x-3
(2)
f'(x)=-3x²+2ax-2a
=-3x²-bx+b
函数fx在区间【-2,0】上单调
∴f'(x)在区间[-2,0]内恒>0或恒<0(或者说没有零点）
①当f'(x)在区间[-2,0]内恒>0时
-3x²-bx+b>0
-3x²>b(x-1)
∵x∈[-2,0]
∴x-1∈[-3,-1]
-3x²/(x-1)<b
设g(x)=-3x²/(x-1)
g'(x)=-3x(x-2)/(x-1)²
∵x∈[-2,0]
∴g'(x)<=0
∴g(x)最大值=g(-2)=-3*4/(-3)=4
∴4<b
即b>4
②当f'(x)在区间[-2,0]内恒<0时
-3x²-bx+b<0
-3x²<b(x-1)
∵x∈[-2,0]
∴x-1∈[-3,-1]
-3x²/(x-1)>b
设g(x)=-3x²/(x-1)
g'(x)=-3x(x-2)/(x-1)²
∵x∈[-2,0]
∴g'(x)<=0
∴g(x)最小值=g(0)=0
∴0>b
综上，实数b取值范围b<0或b>4

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Answer 2

1)f(1)=-2=-1+a+b+c,得a+b+c=-1
f'(x)=-3x²+2ax+b
x-3y-7=0的斜率为1/3
因此P点切线的斜率为-3
即f'(1)=-3=-3+2a+b,得2a+b=0
x=-2为极值点，则f'(-2)=0=-12-4a+b,得-4a+b=12
由上面三式解得：a=-2, b=4, c=-3
故f(x)=-x^3-2x²+4x-3

2)由上，2a+b=0,得2a=-b
f'(x)=-3x²-bx+b
在[-2,0]单调，则在此区间内（-2，0），f'(x)=0无解。
若-3x²-bx+b=0在区间内有解，则：
得b=3x²/(1-x)
令t=1-x, 则1<t<3
b=3(1-t)²/t=3(t+1/t-2)
当1<t<3时，2<t+1/t<10/3
故3(2-2)<b<3(10/3-2)
即0<b<4
因此b的取值范围是：b>=4或b<=0