Question

高二数学题不会做，求解答

已知圆C：x^2+y^2+2mx-6my+1=0上有两点P,Q关于直线x-y+4=0的对称，且以PQ为直的圆经过原点

(1)求m的值

(2)求直线PQ的方程
要解题过程

Answer 1

解：(1) 圆C：x^2+y^2+2mx-6my+1=0,  (x+m)^2+(y-3m)^2=10m^2-1,

       圆心点C的坐标为（-m，3m) ,  圆C半径的平方=10m^2-1，

       圆C上有P、Q两点关于直线x-y+4=0对称，则圆心C（-m，3m)必在直线x-y+4=0上，

       所以： -m-3m+4=0, m=1.

      (2)  m=1,  点C的坐标为（-1，3），  圆C的半径= 根号下（10m^2-1)=3.

       如图：

               

     点P、Q关于直线y=x+4对称，直线PQ与直线y=x+4垂直，以PQ为直径的圆（暂时记为圆A）   

     的圆心A是直线PQ与直线y=x+4的交点，令圆心A的坐标为（x,x+4), 圆A过点原点O， 线段 

     AO、AP是圆A的半径， AO=AP，AO^2=AP^2,  

    在圆C中，CP是半径，CP=3，AP^2=CP^2-CA^2,  所以 CP^2-CA^2=AO^2，

    3^2-[(-1-x)^2+(3-x-4)^2]=x^2+(x+4)^2,   解得x=-3/2, x+4=5/2,  点A坐标为（-3/2，5/2），

    直线PQ与直线y=x+4垂直，直线PQ的斜率为-1，令直线PQ的解析式为y=-x+b, 点A在直线PQ   

   上， 5/2=-（-3/2）+b,  b=1,

    所以直线PQ的解析式为  y=-x+1,  即 x+y-1=0.

    (利用垂径定理，与两点间距离公式求解，方法易懂，计算量较小）

    

    望采纳！

    

Answer 2

解析：
（1）由圆C：x2+y2+2mx-6my+1=0配方可得：(x+m)^2+(y−3m)^2＝10m^2-1

知：圆心C(−m，3m)，半径为根号(10m^2-1)，记为r.
∵圆C上有两点P，Q关于直线x-y+4=0对称，则直线必过圆心C．
将C点坐标代入直线方程，-m-3m+4=0
解得：m=1，从而圆C的半径r=3.
（2）由（1）可知圆C：（x+1）2+（y-3）2=9 ①
依题意，直线PQ与直线x-y+4=0垂直，故直线PQ的斜率kPQ=-1
故设直线PQ方程为：y=-x+b ②
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
由①，②联立，可得：2x2-（2b-8）x+b2-6b+1=0
由韦达定理，x1+x2=b-4，x1•x2＝(b2−6b+1)/2
∴y1•y2=（-x1+b）（-x2+b）＝x1x2−b(x1+x2)+b2＝[b2+2b+1]/2
又∵OP⊥OQ
∴x1x2+y1y2=0⇒b2-2b+1=0⇒b=1.
故直线PQ的方程为：x+y-1=0

追问

后面有点看不懂

追答

哪里看不懂啊?

Answer 3

（1）x^2+y^2+2mx-6my+1=0

（x+m）^2+(y-3m)^2=10m^2-1
即圆心为（-m,3m），
因为圆C：x^2+y^2+2mx-6my+1=0上有两点P,Q关于直线x-y+4=0的对称，

所以 圆心在直线上，即
-m-3m+4=0
4m=4
m=1

(2)圆的方程为（x+1）^2+(y-3)^2=9
∵直线PQ与直线y=x+4垂直，
∴设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，直线PQ的方程为y=-x+b，
y1=-x1+b
y2=-x2+b
将直线y=-x+b代入圆方程，得2x^2+2(4-b)x+b^2-6b+1=0，
△=4(4-b)^2-8(b^2-6b+1)＞0
2-3√2＜b＜2+3√2
由韦达定理得，
x1+x2=b-4
x1x2=(b^2-6b+1)/2
y1y2=(b-x1)(b-x2)=b^2-b(x1+x2)+x1x2
=(b^2-6b+1)/2+4b
又OP⊥OQ
即x1x2+y1y2=0，
所以(b^2-6b+1)/2+(b^2-6b+1)/2+4b=0
即b^2-2b+1=0

解得，b=1∈（2-3√2，2+3√2）
∴所求的直线方程为y=-x+1。

Answer 4

(x+m)^2+(y−3m)^2＝10m^2-1

∵圆C上有两点P，Q关于直线x-y+4=0对称，直线x-y+4=0是垂直平分线
必经过圆心，将C点坐标代入直线方程，-m-3m+4=0 m=1圆C的半径r=3.

∵以PQ为直径的圆经过原点，直径所对圆周角为90度
∴OP⊥OQ

设直线PQ方程为：y=-x+b

代入圆方程2x²-（2b-8）x+b2-6b+1=0

x1•x2＝(b2−6b+1)/2

y1•y2=（-x1+b）（-x2+b）＝x1x2−b(x1+x2)+b2＝[b2+2b+1]/2

∵OP⊥OQ
∴斜率相互垂直y1-0/x1-0=-（y2-0/x2-0）
x1x2+y1y2=0⇒b2-2b+1=0⇒b=1.

直线PQ的方程为：x+y-1=0

Answer 5

（1）由圆C：x2+y2+2mx-6my+1=0配方可得：(x+m)^2+(y−3m)^2＝8m^2-1