Question

在△OAB, △OCD中OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°，连AC,BD

1) ①若O、C、A在一条直线上，连AD、BC，取BC的中点M（如图1）则OM、AD之间有何确定的关系？②若将△OCD绕O旋转（如图1-1、1-2、1-3）则①的结论是否变化）加以证明. (2) ①若O、C、A在一条直线上,连AD、BCAC取BC、AD的中点M、N（如图2）则MN、AC之间有何确定的关系？②若将△OCD绕O旋转（如图2-1、2-2）则①的结论是否变化，加以证明.

Answer 1

(1)。①
证：O、C、A在一条直线上，在△BOC中，∠COB=∠AOB=90°，M为斜边BC的中点，则必有：
BC=2OM；
又已知OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°，故△AOD≌△BOC，从而有：
AD=BC；
故：AD=2OM。
(1). ②若将△OCD绕O旋转，仍然有△AOD≌△BOC，AD=BC；
但在△BOC中，∠COB是变化的，
当∠COB为直角时，有BC=2OM；
当∠COB为锐角时，有BC<2OM；
当∠COB为直角时，有BC>2OM。
(2)。①
证：连CD，取CD的中点K，连MK、NK，
OA=OB，OC=OD，故AC=OA-OC=OB-OD=BD，
M、N、K 分别为BC、AD、CD中点，则
2MK=BD，MK//BD，
2NK=AC，NK//AC，
∠AOB=90°，即AC⊥BD，
从而有MK=NK，MK⊥NK，
即MNK为等腰直角三角形，
则MN=√2NK=√2/2AC，即：AC=√2MN。