Question

设a1,a2...an为正数,是分别用柯西不等式与排列不等式证明ai^2/a2+a2^2/a3+...+an^

za zuo a
设a1,a2...an为正数，是分别用柯西不等式与排列不等式证明ai^2/a2+a2^2/a3+...+an^2/a1>=a1+a2+...+an

Answer 1

柯西不等式
a1,a2...an为正数
（a1^2/a2+a2^2/a3+...+an^2/a1）（a2+a3+...+a1） >=（a1+a2+...+an）^2
所以 a1^2/a2+a2^2/a3+...+an^2/a1>=a1+a2+...+an

排列不等式
a1,a2...an为正数
不妨设对于任意i<j,则有ai<aj
考虑{ai^2}{ai^-1}这两个数列
对于任意i<j,则有ai^2<aj^2,ai^-1>aj^-1
任意i,k=i+1 ai^2/ak=ai^2* 1/ak
所以 a1^2/a2+a2^2/a3+...+an^2/a1是乱序和
大于倒序和 a1^2/a1+a2^2/a2+...+an^2/an
= a1+a2+...+an
得证
取等号条件 a1=a2=…=an