Question

已知函数f（x）=2 sinxcosx+2cos 2 x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0， ]上的最

已知函数f（x）=2 sinxcosx+2cos 2 x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0， ]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x 0 ）= ，x 0 ∈[ ， ]，求cos2x 0 的值．

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

Answer 1

解：（Ⅰ）由f（x）=2 sinxcosx+2cos 2 x﹣1，得 f（x）= （2sinxcosx）+（2cos 2 x）﹣1）= sin2x+cos2x=2sin（2x+ ） 所以函数f（x）的最小正周期为π． 因为f（x）=2sin（2x+ ）在区间[0， ]上为增函数，在区间[ ， ]上为减函数， 又f（0）=1，f（ ）=2，f（ ）=﹣1， 所以函数f（x）在区间[0， ]上的最大值为2，最小值为﹣1． （Ⅱ）由（1）可知f（x 0 ）=2sin（2x 0 + ） 又因为 f（x 0 ）= ，所以sin（2x 0 + ）= 由x 0 ∈[ ， ]，得 2x 0 + ∈[ ， ] 从而cos（2x 0 + ）=﹣ =﹣ ． 所以cos2x 0 =cos[（2x 0 + ）﹣ ]=cos（2x 0 + ）cos +sin（2x 0 + ）sin = ．