Question

已知abc为不全等的正实数，证明(b+c-a)/a+（c+a-b）/b+（a+b-c）/c>3

Answer 1

（B+C-A)/A+(A+B-C)/B+(A+B-C)/C>3
应该是（B+C-A)/A+(A+C-B)/B+(A+B-C)/C>3

即是证明：（B+C)/A+(A+C)/B+(A+B)/C>6

证明：
（B+C)/A+(A+B)/B+(A+B)/C
=B/A+C/A+A/B+C/B+A/C+B/C
=( B/A+A/B)+(C/B+B/C)+(A/C+C/A)

因为A,B,C是全不相等的正实数
B/A+A/B>2
C/B+B/C>2
A/C+C/A>2

所以( B/A+A/B)+(C/B+B/C)+(A/C+C/A)>6

从而（B+C-A)/A+(A+C-B)/B+(A+B-C)/C>3

Answer 2

将每一个如(b+c-a)/a的分式加2，可得上不等式等价于
(b+c+a)/a+（c+a+b）/b+（a+b+c）/c>3+6=9
提出公因式（a+b+c)，得等价于（a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>9
而又由均值不等式的推广中有算术平均值大于调和平均值，所以有
（a+b+c)/3>=3/(1/a+1/b+1/c)的，整理即可得（a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9，但等号在a,b,c均相等时取得，由题目知abc不全等，所以等号不成立，所以（a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>9成立，也即原不等式成立。