已知函数f(x)的定义域为D:(-∞,0)∪(0,+∞),且满足对于任意x,y∈D,有f(xy)=f(x)+f(y)
已知函数f(x)的定义域为D:(-∞,0)∪(0,+∞),且满足对于任意x,y∈D,有f(xy)=f(x)+f(y).(I)求f(1),f(-1)的值;(II)判断f(x...
已知函数f(x)的定义域为D:(-∞,0)∪(0,+∞),且满足对于任意x,y∈D,有f(xy)=f(x)+f(y).(I)求f(1),f(-1)的值;(II)判断f(x)的奇偶性并说明理由;(III)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
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(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)对于任意x,y∈R都成立. 令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0; 令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),解得f(-1)=0; (2)函数f(x)是R上的奇函数. 证明:令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0; 令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0, ∴f(-x)=-f(x), ∴函数f(x)是R上的奇函数. (3)∵f(xy)=f(x)+f(y),f(4)=1 则f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2f(4)=2, ∴f(64)=f(4×16)=f(4)+f(16)=3 所以f(3x+1)+f(2x-6)=f[(3x+1)(2x-6)]=f(6x 2 -16x-6)≤3=f(64) 已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数 所以f(0)<f(6x 2 -16x-6)≤f(64) 即0<6x 2 -16x-6≤64,解得:3<x≤5. |
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