Question

已知函数f（x）的定义域为D：（-∞，0）∪（0，+∞），且满足对于任意x，y∈D，有f（xy）=f（x）+f（y）

已知函数f（x）的定义域为D：（-∞，0）∪（0，+∞），且满足对于任意x，y∈D，有f（xy）=f（x）+f（y）．（I）求f（1），f（-1）的值；（II）判断f（x）的奇偶性并说明理由；（III）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）对于任意x，y∈R都成立． 令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0； 令x=y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1），解得f（-1）=0； （2）函数f（x）是R上的奇函数． 证明：令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0； 令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0， ∴f（-x）=-f（x）， ∴函数f（x）是R上的奇函数． （3）∵f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=1 则f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2f（4）=2， ∴f（64）=f（4×16）=f（4）+f（16）=3 所以f（3x+1）+f（2x-6）=f[（3x+1）（2x-6）]=f（6x 2 -16x-6）≤3=f（64） 已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数 所以f（0）＜f（6x 2 -16x-6）≤f（64） 即0＜6x 2 -16x-6≤64，解得：3＜x≤5．