Question

已知函数f（x）=x2-2x-3，x∈[0，1]，g（x）=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]．（1）求f（x）的值域M；（2）若a≥1

已知函数f（x）=x2-2x-3，x∈[0，1]，g（x）=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]．（1）求f（x）的值域M；（2）若a≥1，求g（x）的值域N；（3）在（2）的条件下，若对于任意的x∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]使得f（x1）=g（x0），求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=（x-1）²-4，x∈[0，1]
所以f（x）在[0，1]单调递减，
所以当x=0时函数最大为-3，当x=1时函数最小为-4
故f（x）值域为M=[-4，-3]（4分）
（2）∵g′（x）=3x²-3a²=3（x²-a²）
∵x∈[0，1]a≥1
∴x²-a²≤0即g′（x）≤0
∴g′（x）=x²-3a²x-2a在[0，1]上单调递减
故g（x）的值域为N=[1-2a-3a²，-2a]（8分）
（3）∵对任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]使f（x₁）=g（x₀）
∴M?N
∴

1?2a?3a2≤?4 ?2a≥?3

即

a≥1或a≤? 5 3 a≤ 3 2

又∵a≥1
∴a∈[1，

3

2

]（13分）