Question

如图，CD是△ABC中AB边上的高，以AD为直径的圆交AC于点E，一BD为直径的圆交BC于点F．（Ⅰ）求证：E、D、F

如图，CD是△ABC中AB边上的高，以AD为直径的圆交AC于点E，一BD为直径的圆交BC于点F．（Ⅰ）求证：E、D、F、C四点共圆；（Ⅱ）若BD=5，CF=163，求四边形EDFC外接圆的半径．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：连接ED，FD，
∵AD，BD是直径，∴∠AED=∠BFD=90°，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
∴∠DEC+∠DFC=180°，
∴E、D、F、C四点共圆；
（Ⅱ）解：∵∠DEC=90°，
∴CD是四边形EDFC外接圆的直径，
∵CD是△ABC中AB边上的高，
∴BD是四边形EDFC外接圆的切线，
∴BD=BF?BC
∵BD=5，CF=

16

3

，
∴BF=3，
同理CD=

20

3

∴四边形EDFC外接圆的半径为

10

3

．