Question

数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an-3n，（n∈N*）．（1）证明：{an+3}是等比数列，并求数列{an}的通项公式

数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an-3n，（n∈N*）．（1）证明：{an+3}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an；（2）令bn=(2n?1)．an3，求数列{bn}的前n项和Hn．

Answer 1

解答：证明：（1）当n≥2时由S_n=2a_n-3n得S_n-1=2a_n-1-3（n-1），
两式相减得S_n-S_n-1=a_n=（2a_n-3n）-[2a_n-1-3（n-1）]，
整理得a_n=2a_n-1+3     …（2分）
∴

an+3

an?1+3

=

2an?1+3+3

an?1+3

=2                          …（4分）
由S₁=2a₁-3得a₁=3，
∴a₁+3=6
∴{a_n+3}是以6为首项、2为公比的等比数列           …（5分）
∴a_n+3=6.2^n-1，
∴a_n=3.2ⁿ-3                       …（6分）
（2）解：∵b_n=（2n-1）?（2ⁿ-1）
设T_n=1.2¹+3.2²+5.2³+…+（2n-3）2^n-1+（2n-1）2ⁿ                 ①
2T_n=1.2²+3.2³+…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹     ②
由①-②得：-T_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）2ⁿ⁺¹，…（7分）
=2+

8(1?2n?1)

1?2

-（2n-1）.2ⁿ⁺¹       …（9分）
化简得 T_n=（2n-3）.2ⁿ⁺¹+6．                       …（11分）
∴H_n=T_n-[1+3+…+（2n-1）]=（2n-3）.2ⁿ⁺¹+6-n²        …（14分）