Question

如图所示，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，使得△CMN的周长为2．求：（1）∠MAN的大小；（2

如图所示，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，使得△CMN的周长为2．求：（1）∠MAN的大小；（2）△MAN面积的最小值．

Answer 1

解：（1）如图，延长CB至L，使BL=DN，则Rt△ABL≌Rt△ADN，故AL=AN，
∠1=∠2，∠NAL=∠DAB=90°
又∵MN=2-CN-CM=DN+BM=BL+BM=ML
∴△AMN≌△AML
∴∠MAN=∠MAL=45°

（2）设CM=x，CN=y，MN=z，
则x²+y²=z²，
∵x+y+z=2，则x=2-y-z
于是（2-y-z）²+y²=z²
整理得2y²+（2z-4）y+（4-4z）=0
∴△=4（z-2）²-32（1-z）≥0
即（z+2+2

2

）（z+2-2

2

）≥0
又∵z＞0
∴z≥2

2

-2当且仅当x=y=2-

2

时等号成立
此时S_△AMN=S_△AML=

1

2

ML?AB=

1

2

z
因此，当z=2

2

-2，x=y=2-

2

时，S_△AMN取到最小值为

2

-1．