Question

已知函数f（x）= 1 2 ax 2 +2x，g（x）=lnx．（1）求函数y=xg（x）-2x的单调增区间．（2）如

已知函数f（x）= 1 2 ax 2 +2x，g（x）=lnx．（1）求函数y=xg（x）-2x的单调增区间．（2）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；（3）是否存在实数a＞0，使得方程 g(x) x =f′（x）-（2a+1）在区间（ 1 e ，e）内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵y ′ =lnx-1 令y ′ ＞0，则x＞e ∴函数y=xg（x）-2x的单调增区间为（e，+∞） （2）当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是增函数， 当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=- 2 a 由于y=f（x）在[1，+∞）上是增函数， ∴- 2 a ≤1，解得a≤-2或a＞0，∴a＞0 当a＜0时，不符合题意， 综上，a的取值范围为a≥0 （3）方程 g(x) x =f′（x）-（2a+1）可化简为 lnx x =ax+2-（2a+1） 即为方程ax 2 +（1-2a）x-lnx=0． 设H（x）=ax 2 +（1-2a）x-lnx，（x＞0） 原方程在区间（ 1 e ，e）内有且只有两个不相等的实数根，即函数H（x）在区间（ 1 e ，e）内有且只有两个零点． H ′ （x）=2ax+（1-2a）- 1 x = 2a x 2 +(1-2a)x-1 x = (2a+1) (x-1) x 令H ′ （x）=0，因为a＞0，解得x=1或x=- 1 2a （舍） 当x∈（0，1）时，H ′ （x）＜0，H（x）是减函数； 当x∈（1，+∞）时，H ′ （x）＞0，，H（x）是增函数．， H（x）在（ 1 e ，e）内有且只有两个不相等的零点，只需   H( 1 e )＞ 0 H(x) min ＜0 H(e)＞0 即1＜a＜ e 2 +e 2e-1