Question

已知函数f（x）=lnx+x，g（x）=ax2（a≠0）（1）若a=1，求函数H（x）=f（x）-g（x）的单调区间；（2）若

已知函数f（x）=lnx+x，g（x）=ax2（a≠0）（1）若a=1，求函数H（x）=f（x）-g（x）的单调区间；（2）若函数H（x）=f（x）-g（x）在其定义域上不单调，求实数a的取值范围；（3）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线，求实数a的值并求点P的坐标．

Answer 1

（1）当a=1时，H（x）=f（x）-g（x）=lnx+x-x²，定义域为（0，+∞），
H′（x）=

1

x

+1-2x=-

(2x+1)(x?1)

x

，
当0＜x＜1时，H′（x）＞0，当x＞1时，H′（x）＜0，
所以函数H（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
（2）H（x）=lnx+x-ax²，H′（x）=

1

x

+1?2ax=

1+x?2ax2

x

，
因为H（x）在定义域内不单调，则函数h（x）=1+x-2ax²在（0，+∞）内有零点，且在零点两侧函数值异号，
又h（0）=1＞0，则有

a＜0 1 4a ＞0 △＝1?4×(?2a)×1＞0

或

a＞0 h(0)＞0

，解得a＞0．
故实数a的取值范围为（0，+∞）．
（3）设P（x₀，y₀），则lnx₀+x₀=ax02①，f′（x₀）=g′（x₀），即

1

x0

+1＝2ax0，化简得x₀+1=2ax02②
联立①②消a得，lnx₀+

1

2

x0-

1

2

=0，
令φ（x）=lnx+

1

2

x-

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