Question

设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点，若椭圆C上的一点A（1，32）到F1，F2的距离之和

设F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点，若椭圆C上的一点A（1，32）到F1，F2的距离之和为4．（1）求椭圆方程；（2）若M，N是椭圆C上两个不同的点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，求证：|OP|＜12；（3）若M，N是椭圆C上两个不同的点，Q是椭圆C上不同于M，N的任意一点，若直线QM，QN的斜率分别为KQM?KQN．问：“点M，N关于原点对称”是KQM?KQN=-34的什么条件？证明你的结论．

Answer 1

（1）由题意可得

1 a2 + 9 4b2 ＝1 2a＝4

，解得a=2，b²=3．
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

＝1；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，0），
则|PM|=|PN|，∴(x1?x0)2+

y

2 1

=(x2?y2)2+

y

2 2

．（*）
又M，N在椭圆上，∴

y

2 1

＝3?

3

4

x

2 1

，

y

2 2

＝3?

3

4

x

2 2

；
代入（*）得x0＝

x1+x2

8

＜

2+2

8

＝

1

2

，则有|

OP

|＜

1

2

．
（3）“点M，N关于原点对称”是K_QM?K_QN=-