Question

已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（ a＞b＞0）的焦距为23，一个焦点与短轴两端点构成一个等边三角形，直线l：y=2x

已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（ a＞b＞0）的焦距为23，一个焦点与短轴两端点构成一个等边三角形，直线l：y=2x+b（b∈R）与椭圆Γ相交于A、B两点，且∠AOB为钝角．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求b的取值范围．

Answer 1

（1）由已知

a2?b2＝3 a＝2b

，
解得a=2，b=1，
∴椭圆Γ的方程为

x2

4

+y2＝1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
直线l：y=2x+b（b∈R）代入椭圆Γ，可得17x²+16bx+4b²-4=0，
∴△=256b²-16×17（b²-1）＞0，即b²＜17，且x₁+x₂=-

16b

17

，x₁x₂=

4b2?4

17

∴y₁y₂=4x₁x₂+2b（x₁+x₂）+b²=

b2?16

17

．
∵∠AOB为钝角，
∴x₁x₂+y₁y₂=

5b2?20

17

＜0，
∴-2＜b＜2，
∵b=0时，∠AOB为平角，
∴b的取值范围为（-2，0）∪（0，2）．