Question

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的中心在坐标原点O，一条准线的方程是x=4，过椭圆的左焦点F，且方向向量

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的中心在坐标原点O，一条准线的方程是x=4，过椭圆的左焦点F，且方向向量为a=（1，1）的直线l交椭圆于A、B两点，AB的中点为M．（Ⅰ）求直线OM的斜率（用a、b表示）；（Ⅱ）直线AB与OM的夹角为α，当tanα=7时，求椭圆的方程．

Answer 1

（I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因为A、B在椭圆上
所以

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

＝1，  

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

＝1
两式相减，得：

y1?y2

x1?x2

?

y1+y2

x1+x2

＝?

b2

a2

∵kAB＝

y1?y2

x1?x2

＝1，kOM＝

y1+y2

x1+x2

∴kOM＝?

b2

a2

…（6分）

（II）因为直线AB与OM的夹角为α，tanα=7
由（I）知kAB＝1，kOM＝?

b2

a2

∴tanα＝

1+ b2 a2

1? b2 a2

＝7①
又椭圆中心在坐标原点O，一条准线的方程是x=4∴

a2

c

＝4②
在椭圆中，a²=b²+c²③
联立①②③，解得：

a2＝4 b2＝3

…（12分）
所以，椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1…（13分）