Question

（1）设α1，α2都是n维向量，证明向量组β1=α1-2α2，β2=3α1-4α2，β3=5α1-6α2线性相关．（2）设A

（1）设α1，α2都是n维向量，证明向量组β1=α1-2α2，β2=3α1-4α2，β3=5α1-6α2线性相关．（2）设A，B是n级矩阵，证明r（A+B）≤r（A）+r（B）．

Answer 1

（1）由于{β₁，β₂，β₃}={α₁，α₂}

1 3 5 ?2 ?4 ?6

∴r{β₁，β₂，β₃}≤r{α₁，α₂}≤2
∴r{β₁，β₂，β₃}≤2＜3
∴{β₁，β₂，β₃}是线性相关的．
（2）假设A的列向量组的一个极大无关组与B的列向量组的一个极大无关组合并的向量组为（I）
则A+B的列向量都可由向量组（I） 线性表示
∴r（A+B）＜=r（I）
而（I）中向量的个数为r（A）+r（B）
∴r（I）＜=r（A）+r（B）
∴r（A+B，B）＜=r（I）＜=r（A）+r（B）
即r（A+B）≤r（A）+r（B）．