Question

如图，以△ABC的BC边为直径作圆O，分别交AC、AB于E、F两点，过A作圆O的切线，切点为D，并且点E、F为劣弧C

如图，以△ABC的BC边为直径作圆O，分别交AC、AB于E、F两点，过A作圆O的切线，切点为D，并且点E、F为劣弧CD的三等分点，求∠CAD的大小．

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Answer 1

解：连接BE、BD、DF、OD，设圆O半径为r，EC长为l，
∵E为弧CF的中点，
∴∠ABE=∠CBE，
又∵BE⊥CE，
∴△ABC为等腰三角形，
即AB=BC=2r，AE=EC=l，
∵E，F为弧CD的三等分点，
∴DF=EC=L，
∵AD，AC分别为⊙O的切线和割线，
∴AD²=AE?AC，即AD=

2

l，
又∵△ADF∽△ABD，
∴

AD

DF

=

AB

BD

，
即BD=

2

r，
∵BD²=DO²+OB²，
∴∠DBO=45°，
∵∠DBF=∠FBE=∠EBC，
AB=BC，
∴∠ABC=∠DAB=30°，
∠BAC=75°，
∴∠CAD=105°．