Question

如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作平行四边形APCD，AC与PD相交于点E，

如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作平行四边形APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α，（0°＜α＜90°）．（1）求证：∠EAP=∠EPA；（2）平行四边形APCD是否为矩形？请说明理由；（3）如图2，F为BC的中点，连接FP，过点E的射线EM、EN分别交BA、FP延长线于点M、N，且∠MEN=∠AEP．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：如图1，∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA．轿老
在△AEP和△ABC中

∠EAP＝∠CAB ∠AEP＝∠ABC

，
∴△AEP∽△ABC
∴∠APE=∠ACB，
∴∠APE=∠BAC，
即∠EAP=∠EPA；
（2）平行四边形APCD是矩形
理由：如图1，∵∠EAP=∠EPA，
∴AE=PE，
∴2AE=2PE．
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AC=2AE，PD=2PE，
∴AC=PD．
∴平行四边形APCD是矩形；
（3）EM=EN．
理由：如图2，∵四边形APCD是矩形，
∴PE=CE，∠CPB=90°，
∴∠EPC=∠ECP，∠CPB=90°．
∵F为BC的中点，
∴CF=PF=

1

2

BC，
∴∠CPF=∠PCF，
∴∠CPF+∠EPC=∠PCF+∠ECP，
∴∠EPF=∠ECF，
∴闭型升∠EPF=∠EAP，
∴∠EPN=∠EAM．
∵租蠢∠MEN=∠AEP，
∴∠MEN-∠AEN=∠AEP-∠AEN，
∴∠AEM=∠PEN．
在△PEN和△AEM中

∠PEN＝∠AEM PE＝AE ∠PEN＝∠AEM

，
∴△PEN≌△AEM（ASA），
∴EN=EM．