Question

函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），且关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），在直线

函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），且关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），在直线x=m，x=m+6，y=0，y=c围成的矩形内任意取一点P，则P点落在y=f（x）与y=c围成的封闭区域内的概率为______．

Answer 1

∵函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴f（x）=x²+ax+b=0只有一个根，即△=a²-4b=0则b=

a2

4

，
不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），
即为x²+ax+

a2

4

＜c解集为（m，m+6），
则x²+ax+

a2

4

-c=0的两个根为m，m+6
∴|m+6-m|=

a2?4( a2 4 ?c)

=6
解得c=9．
对于抛物线f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），不论a，b取何值，图形形状不变，所围成的面积为一定值，故令f（x）=x²，则

∫

3 ?3

x2dx=18，y=f（x）与y=c围成的封闭区域的面积为36，
∵直线x=m，x=m+6，y=0，y=c围成的矩形的面积为54，
∴所求的概率为

36

54

=

2

3

．
故答案为：

2

3

．