Question

如图，把长、宽分别为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角．（Ⅰ）求顶点B和D之间的距离；（Ⅱ）现发

如图，把长、宽分别为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角．（Ⅰ）求顶点B和D之间的距离；（Ⅱ）现发现BC边上距点C的13处有一缺口E，请过点E作一截面，将原三棱锥分割成一个三棱锥和一个棱台两部分，为使截去部分体积最小，如何作法？请证明你的结论．

Answer 1

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，过B作BO⊥AC，垂足为O，连接OD

面ABC⊥面ACD BO?面ABC 面ABC∩面ACD＝AC

?

BO⊥面ACD OD?面ACD

∴BO⊥OD
由已知BO=

12

5

，OD=

193

5

在Rt△BOD中，BD=

337

5

．
（Ⅱ）方案（一）过E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，

EF∥AC EF?面ACD AC?面ACD ?EF∥面ACD

∵EG∥平面ACD，

EF∩EG＝E
∴平面EFG∥平面ACD
原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分，此时

VB?EFG

VB?ACD

＝(

2

3

)3＝

8

27

．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时

VC?EPQ

VC?BDA

＝(

1

3

)3＝

1

27

，
为使截去部分体积最小，
故选用方案（二）．