Question

定义在R+上的函数f(x),对于任意的m,n∈R+,都有f(mn)=f(m)+f(n),x>1时,f(x)<0,

定义在R+上的函数f(x),对于任意的m,n∈R+,都有f(mn)=f(m)+f(n)成立,当x>1时,f(x)<0。 （1）计算f（1）； （2）证明f（x）在R+上是减函数； （3）当f（2）=1/2时，解不等式f（x-3x）＞1.

Answer 1

解：（1）令m=1，n=0，则 f（0）=f（1）+f（0） ∴f（1）=0 （2）在R+上任取0＜x1＜x2，则 f（x2）-f（x1） =f（x2/x1·x1）-f（x1） =f（x2/x1）+f（x1）-f（x1） =f（x2/x1） ∵x1＜x2 ∴x2/x1＞1 由题意可知，当x＞1时，f（x）＜0 ∴f（x2/x1）＜0，即 f（x2）＜f（x1） ∴f（x）在R+上是减函数 （3）这个很奇怪， 由题意可知， 当x＞1时，f（x）＜0， 可是f（2）怎么会等于1/2呢？ 追问： 这个我也很困惑？ 题目就是这么写的？

Answer 2

解:(1)令m=1，n=0，则
f(0)=f(1)+f(0)
∴f(1)=0
(2)在R+上任取0＜x1＜x2，则
f(x2)-f(x1)
=f(x2/x1·x1)-f(x1)
=f(x2/x1)+f(x1)-f(x1)
=f(x2/x1)
∵x1＜x2
∴x2/x1＞1
由题意可知，当x＞1时，f(x)＜0
∴f(x2/x1)＜0，即
f(x2)＜f(x1)
∴f(x)在R+上是减函数(3)这个很奇怪，
由题意可知，
当x＞1时，f(x)＜0，
可是f(2)怎么会等于1/2呢?

Answer 3

1.
当m=1时，f(n)=f(1)+f(n)
所以f(1)=0;
2.
当n=m=x时，f(x^2)=2f(x)，
当x＞1时，x^2＞x,f(x^2)＜f(x)＜0,所以当x＞1时，f(x)是减函数。
当0＜x≤1时，0＜x^2＜x≤1,f(x^2)=2f(x)，
若f(x)≥0，则f(x^2)≥f(x)≥f(1)=0，f(x)在0＜x≤1上是减函数;
若f(x)＜0，则0=f(1)＜f(x^2)＜f(x)，无法确定增减;

Answer 4

解:
(1)f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1),故f(1)=0
(2)在r+上任取x1>x2,依题意有:
f(x1)=f(x2×x1/x2)=f(x2)+f(x1/x2)
f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)
又因为x1>x2>0,故x1/x2>1,依题意有:
f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)<0,即f(x1)<f(x2)
故f(x)在r+上是减函数,得证
(3)f(2)=1/2,f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=(1/2)+(1/2)=1
故f(x²-3x)>1=f(4)
又因为f(x)在r+上是减函数,故有:
0<x²-3x<4
解得x∈(-1,0)∪(3,4)

Answer 5

解:
(1)f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1),故f(1)=0
(2)在r+上任取x1>x2,依题意有:
f(x1)=f(x2×x1/x2)=f(x2)+f(x1/x2)
f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)
又因为x1>x2>0,故x1/x2>1,依题意有:
f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)<0,即f(x1)<f(x2)
故f(x)在r+上是减函数,得证
(3)f(2)=1/2,f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=(1/2)+(1/2)=1
故f(x²-3x)>1=f(4)
又因为f(x)在r+上是减函数,故有:
0<x²-3x<4
解得x∈(-1,0)∪(3,4)